Hace algún tiempo, tuve una extraña conversación con mi hijo Lucian, que entonces tenía nueve años.
“Papá, ¿cuánto es infinito más infinito?” preguntó Lucian.
“Infinito”, respondí firmemente.
“Pero, ¿cómo puede un número más sí mismo ser él mismo?” Lucian insistió. “Pensé que solo el cero podía hacer eso, como en 0+0 = 0”.
“Bueno”, dije, “el infinito no es realmente un número. Es más una idea”.
Lucian elevó su mirada. «Entonces, ¿infinito más uno también es infinito?»
«Sí.»
«Raro, papá».
«Sí.»
Infinitos matemáticos
Antes de explorar el infinito en la Naturaleza, aquí hay un pequeño preludio sobre los infinitos en matemáticas.
Los matemáticos a menudo se refieren a infinitos contables e incontables. (Sí, hay diferentes tipos de infinito). Por ejemplo, el conjunto de todos los números enteros (…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…) es un conjunto numerable infinito. Otro ejemplo es el conjunto de números racionales: números de la forma p/q construidos a partir de fracciones de números enteros, como 1/2, 3/4 y 7/8, y excluyendo la división por cero.
El número de objetos en cada uno de estos conjuntos (también conocido como el cardinal del conjunto) se llama aleph-0. Aleph es la primera letra del alfabeto hebreo, y tiene la interpretación cabalística de conectar el cielo y la tierra: ℵ. Aleph-0 es infinito, pero no es el mayor infinito posible. El conjunto de números reales, que incluye los conjuntos de números racionales e irracionales (aquellos números que no se pueden representar como fracciones de números enteros, incluidos √2, π, e, etc.), tiene un cardinal de aleph-1. Aleph-1 se conoce como el continuo. Es mayor que aleph-0 y se puede obtener multiplicando aleph-0 por sí mismo aleph-0 veces: 1=00.
Georg Cantor, el matemático alemán pionero que inventó la teoría de conjuntos, describió en 1878 la hipótesis del continuo, que postula que no hay conjunto con un cardinal entre aleph-0 y aleph-1. Sin embargo, los resultados actuales implican que la hipótesis del continuo es indecidible: no es demostrable ni improbable. La mente humana se confunde con ideas de diferentes infinitos, incluso dentro de la rigidez formal de las matemáticas abstractas.
¿Cuál es la forma del universo?
¿Qué pasa con el espacio? ¿El espacio es infinito? ¿Se extiende el universo hacia el infinito en todas las direcciones, o se dobla sobre sí mismo como la superficie de un globo? ¿Podremos conocer alguna vez la forma del espacio?
El hecho de que solo recibamos información de lo que está dentro de nuestro horizonte cósmico, que está definido por la distancia que ha viajado la luz desde el Big Bang, limita seriamente lo que podemos saber sobre lo que hay más allá de su borde. Cuando los cosmólogos dicen que el universo es plano, lo que realmente quieren decir es que la parte del universo que medimos es plana, o casi dentro de la precisión de los datos. No podemos, desde la llanura de nuestro parche, hacer afirmaciones concluyentes sobre lo que hay más allá del horizonte cósmico.
Si el universo tiene una forma global, ¿podríamos determinarlo, atrapados como estamos dentro de un horizonte cósmico plano? Si nuestro universo tiene la forma de una esfera tridimensional, es posible que no tengamos suerte. A juzgar por los datos actuales, la curvatura de la esfera sería tan leve que sería difícil medir algún indicio de ella.
Una posibilidad interesante pero descabellada es que el universo tenga una forma complicada, lo que los geómetras llaman una topología no trivial. La topología es la rama de la geometría que estudia cómo los espacios pueden deformarse continuamente entre sí. Continuamente significa sin cortar, como cuando estiras y doblas una lámina de caucho. (Estas transformaciones se conocen como homeomorfismos). Por ejemplo, una pelota sin agujeros se puede deformar en un elipsoide con forma de pelota de fútbol, un cubo o una pera. Pero no se puede deformar en un bagel, porque un bagel tiene un agujero.
Medición de firmas universales
Diferentes topologías cósmicas pueden dejar firmas impresas en cosas que podemos medir. Por ejemplo, si la topología no es de conexión simple (recuerda nuestro bagel, que tiene un agujero en su forma), la luz de objetos distantes puede producir patrones en el fondo de microondas. Para usar un ejemplo específico, si el universo tiene forma de bagel y su radio es pequeño en comparación con el horizonte, la luz de galaxias distantes puede haber tenido tiempo de envolverse varias veces, creando múltiples imágenes idénticas como reflejos en espejos paralelos. En principio, podríamos ver estas imágenes o patrones de espejos fantasmales, y estos proporcionarían información sobre la forma global del espacio. Hasta ahora, no hemos encontrado tal indicador.
Dado que no vemos tales imágenes, ¿podemos concluir que el espacio es plano? Nunca podemos medir nada con absoluta precisión, por lo tanto, nunca podemos estar seguros, incluso si los datos actuales apuntan fuertemente hacia la curvatura espacial cero dentro de nuestro horizonte cósmico. En ausencia de una detección positiva de la curvatura, la cuestión de la forma del espacio no tiene respuesta en la práctica. ¿Es algo incognoscible? Parece ser. Algo bastante drástico tendría que intervenir para darlo a conocer, como una teoría que pueda calcular la forma del espacio a partir de primeros principios. Hasta ahora, no tenemos tal teoría. Incluso si algún día llega uno, tendremos que validarlo.
La conclusión puede ser decepcionante, pero también es extraordinaria. El universo puede ser espacialmente infinito, pero no podemos saberlo. El infinito sigue siendo más una idea que algo que existe en la realidad física.
Por Marcelo Gleiser, profesor de filosofía natural, física y astronomía en Dartmouth College.
Este artículo fue publicado originalmente en Big Think.